The Magic Encyclopedia ™

The Magic Hyperbeam Examples
(by Aale de Winkel)

The following tables show simple derivation methods of higher order or dimensional hyperbeams from lower ones

Magic Hyperbeam Construction
Constructing magic hyperbeam is not as developped as magic hypercubes (as far as I now) The various orders do not allow something like a latin hyperbeam (it seems) and thus something like LP (or digit equations) cannot be done in general The Knight-jump construction might be doable. Thus far construction of magic rectangles (/hyperbeams) seem to be by ad-hoc methods Basic Hyperbeam multiplication offers possibilities for the Even Hyperbeams, since compensating measures can be taken to compensate the off-sums in quite easy manners, by reversing half the monagonals. A shifting method seems to work on both types provided the multiplier orders are appropriate for the multiplicant. Below I'll try to formalize general compensating functions. Formulation errors might be corrected in future upload (some things unclear yet, samples are ok)
Monogonal Shift (Even/Odd): kShift[li] : [kj] <= [(li * mk) + kj] Given a magic rectangle Bp,q then Bp,pq = 1Shift[0i](N1,p * Bp,q) Bpq,p = 0Shift[1i](Nq,1 * Bp,q) NOTE: not sure yet but might be only valid for rectangle (ie n=2)
B5,3 00 02 07 12 14 08 10 11 05 01 13 09 03 04 06	N1,5 * B5,3 00 02 07 12 14 08 10 11 05 01 13 09 03 04 06 15 17 22 27 29 23 25 26 20 16 28 24 18 19 21 30 32 37 42 44 38 40 41 35 31 43 39 33 34 36 45 47 52 57 59 53 55 56 50 46 58 54 48 49 51 60 62 67 72 74 68 70 71 65 61 73 69 63 64 66	1Shift[0i](N1,5 * B5,3) = B5,15 00 17 37 57 74 08 25 41 50 61 13 24 33 49 66 15 32 52 72 14 23 40 56 65 01 28 39 48 64 06 30 47 67 12 29 38 55 71 05 16 43 54 63 04 21 45 62 07 27 44 53 70 11 20 31 58 69 03 19 36 60 02 22 42 59 68 10 26 35 46 73 09 18 34 51
	N3,1 * B5,3 00 02 07 12 14 15 17 22 27 29 30 32 37 42 44 08 10 11 05 01 23 25 26 20 16 38 40 41 35 31 13 09 03 04 06 28 24 18 19 21 43 39 33 34 36
	0Shift[1i](N3,1 * B5,3) = B15,3 00 02 07 12 14 15 17 22 27 29 30 32 37 42 44 23 25 26 20 16 38 40 41 35 31 08 10 11 05 01 43 39 33 34 36 13 09 03 04 06 28 24 18 19 21
Dimensional Growth Compensation (Even; mn = 4k) Prep(D)[ni]: ((D[ni]==1) ? P ni + n-1B(m..) : P (ni + 1) - 1 - n-1B(m..)) ; P = k=0∏n-1mk D[ni] ε {-1,1} D[ni] = mn - 1 - D[ni] ; i=0∑mn-1 D[ni] = 0 Swap: [ni] <= [(((k=0∑n-1 ki) % 2 == 0) ? 1 : -1) * ni]
B4,2 00 03 05 06 07 04 02 01	Prep({1,-1,-1,1})[2i] (B4,2)
	[20 ki] = B4,2 00 03 05 06 07 04 02 01	[21 ki] = 15-B4,2 15 12 10 09 08 11 13 14
	[22 ki] = 23-B4,2 23 20 18 17 16 19 21 22	[23 ki] = 24+B4,2 24 27 29 30 31 28 26 25
	Swap (Prep({1,-1,-1,1})[2i] (B4,2)) = B4,2,4
	[20 ki] 00 27 05 30 31 04 26 01	[21 ki] 15 20 10 17 16 11 21 14
	[22 ki] 23 12 18 09 08 19 13 22	[23 ki] 24 03 29 06 07 28 02 25
B4,4 00 11 05 14 07 12 02 09 08 03 13 06 15 04 10 01	Prep({1,-1,-1,1})[2i] (B4,4)
	[20 ki] = B4,4 00 11 05 14 07 12 02 09 08 03 13 06 15 04 10 01	[21 ki] = 31-B4,4 31 20 26 17 24 19 29 22 23 28 18 25 16 27 21 30
	[22 ki] = 47-B4,4 47 36 42 33 40 35 45 38 39 44 34 41 32 43 37 46	[23 ki] = 48+B4,4 48 59 53 62 55 60 50 57 56 51 61 54 63 52 58 49
	Swap (Prep({1,-1,-1,1})[2i] (B4,4)) = B4,4,4
	[20 ki] 00 59 05 62 55 12 50 09 08 51 13 54 63 04 58 01	[21 ki] 31 36 26 33 40 19 45 22 23 44 18 41 32 27 37 30
	[22 ki] 47 20 42 17 24 35 29 38 39 28 34 25 16 43 21 46	[23 ki] 48 11 53 14 07 60 02 57 56 03 61 06 15 52 10 49

The pseudo magic hyperbeam offers some more options below the creation of odd pseudo magic beams from rectangles

Pseudo Magic Hyperbeam Construction
B5,3 00 02 07 12 14 08 10 11 05 01 13 09 03 04 06	Prep({1,-1})[2i](B5,3) = P5,3,2[(35,110),(21,66),29]
	[20 ki] 00 02 07 12 14 08 10 11 05 01 13 09 03 04 06	[21 ki] 29 27 22 17 15 21 19 18 24 28 16 20 26 25 23
	N1,1,3 * B5,3
	[20 ki] 00 02 07 12 14 08 10 11 05 01 13 09 03 04 06	[21 ki] 15 17 22 27 29 23 25 26 20 16 28 24 18 19 21	[22 ki] 30 32 37 42 44 38 40 41 35 31 43 39 33 34 36
	1Shift[2i](N1,1,3 * B5,3) = P5,3,3[110+/-75,66+/-45,66]
	[20 ki] 00 02 07 12 14 08 10 11 05 01 13 09 03 04 06	[21 ki] 23 25 26 20 16 28 24 18 19 21 15 17 22 27 29	[22 ki] 43 39 33 34 36 30 32 37 42 44 38 40 41 35 31
	2Shift[1i](1Shift[2i](N1,1,3 * B5,3)) = P5,3,3[110+/-75<0,-1,0>,66,66]
	[20 ki] 00 02 07 12 14 28 24 18 19 21 38 40 41 35 31	[21 ki] 23 25 26 20 16 30 32 37 42 44 13 09 03 04 06	[22 ki] 43 39 33 34 36 08 10 11 05 01 15 17 22 27 29
	(N1,1,5 * B5,3)
	[20 ki] 00 02 07 12 14 08 10 11 05 01 13 09 03 04 06	[21 ki] 15 17 22 27 29 23 25 26 20 16 28 24 18 19 21	[22 ki] 30 32 37 42 44 38 40 41 35 31 43 39 33 34 36
	[23 ki] 45 47 52 57 59 53 55 56 50 46 58 54 48 49 51	[24 ki] 60 62 67 72 74 68 70 71 65 61 73 69 63 64 66
	0Shift[2i](N1,1,5 * B5,3) = P5,3,5[185+/-(1,2)*75,111+/-(1,2)*45,185]
	[20 ki] 00 02 07 12 14 08 10 11 05 01 13 09 03 04 06	[21 ki] 17 22 27 29 15 25 26 20 16 23 24 18 19 21 28	[22 ki] 37 42 44 30 32 41 35 31 38 40 33 34 36 43 39
	[23 ki] 57 59 45 47 52 50 46 53 55 56 49 51 58 54 48	[24 ki] 74 60 62 67 72 61 68 70 71 65 66 73 69 63 64
	2Shift[0i](0Shift[2i](N1,1,5 * B5,3)) = P5,3,5[185,111+/-(1,2)*45<-1,0,0>,185]
	[20 ki] 00 22 44 47 72 08 26 31 55 65 13 18 36 54 64	[21 ki] 17 42 45 67 14 25 35 53 71 01 24 34 58 63 06	[22 ki] 37 59 62 12 15 41 46 70 05 23 33 51 69 04 28
	[23 ki] 57 60 07 29 32 50 68 11 16 40 49 73 03 21 39	[24 ki] 74 02 27 30 52 61 10 20 38 56 66 09 19 43 48
B5,5 00 06 12 18 24 13 19 20 01 07 21 02 08 14 15 09 10 16 22 03 17 23 04 05 11	N1,1,5 * B5,3
	[20 ki] 000 006 012 018 024 013 019 020 001 007 021 002 008 014 015 009 010 016 022 003 017 023 004 005 011	[21 ki] 025 031 037 043 049 038 044 045 026 032 046 027 033 039 040 034 035 041 047 028 042 048 029 030 036	[22 ki] 050 056 062 068 074 063 069 070 051 057 071 052 058 064 065 059 060 066 072 053 067 073 054 055 061
	[23 ki] 075 081 087 093 099 088 094 095 076 082 096 077 083 089 090 084 085 091 097 078 092 098 079 080 086	[24 ki] 100 106 112 118 124 113 119 120 101 107 121 102 108 114 115 109 110 116 122 103 117 123 104 105 111
	1Shift[2i](N1,1,5 * B5,5) = P5,5,5[310+/-(1,2)*125,310+/-(1,2)*125,310]
	[20 ki] 000 006 012 018 024 013 019 020 001 007 021 002 008 014 015 009 010 016 022 003 017 023 004 005 011	[21 ki] 038 044 045 026 032 046 027 033 039 040 034 035 041 047 028 042 048 029 030 036 025 031 037 043 049	[22 ki] 071 052 058 064 065 059 060 066 072 053 067 073 054 055 061 050 056 062 068 074 063 069 070 051 057
	[23 ki] 084 085 091 097 078 092 098 079 080 086 075 081 087 093 099 088 094 095 076 082 096 077 083 089 090	[24 ki] 117 123 104 105 111 100 106 112 118 124 113 119 120 101 107 121 102 108 114 115 109 110 116 122 103
	0Shift[1i](1Shift[2i](N1,1,5 * B5,5)) = P5,5,5[310+/-(1,2)*125<0,-1,0>,310,310]
	[20 ki] 000 006 012 018 024 046 027 033 039 040 067 073 054 055 061 088 094 095 076 082 109 110 116 122 103	[21 ki] 038 044 045 026 032 059 060 066 072 053 075 081 087 093 099 121 102 108 114 115 017 023 004 005 011	[22 ki] 071 052 058 064 065 092 098 079 080 086 113 119 120 101 107 009 010 016 022 003 025 031 037 043 049
	[23 ki] 084 085 091 097 078 100 106 112 118 124 021 002 008 014 015 042 048 029 030 036 063 069 070 051 057	[24 ki] 117 123 104 105 111 013 019 020 001 007 034 035 041 047 028 050 056 062 068 074 096 077 083 089 090
	1Shift[0i](0Shift[1i](1Shift[2i](N1,1,5 * B5,3))) = B5,5,5
	[20 ki] 000 044 058 097 111 046 060 079 118 007 067 081 120 014 028 088 102 016 030 074 109 023 037 051 090	[21 ki] 038 052 091 105 024 059 098 112 001 040 075 119 008 047 061 121 010 029 068 082 017 031 070 089 103	[22 ki] 071 085 104 018 032 092 106 020 039 053 113 002 041 055 099 009 048 062 076 115 025 069 083 122 011
	[23 ki] 084 123 012 026 065 100 019 033 072 086 021 035 054 093 107 042 056 095 114 003 063 077 116 005 049	[24 ki] 117 006 045 064 078 013 027 066 080 124 034 073 087 101 015 050 094 108 022 036 096 110 004 043 057