The Magic Encyclopedia ™

The Magic Ring
(by Aale de Winkel)

Michael Stifel has 9 pages in his 1544 book "Arithmatica Integra" on magic squares,
(German translation "Michael Stifel Vollständiger Lehrgang der Arithmatik" by Eberhart Knoblauch and Otto Schönberger).
A study of the odd order construction of Michael Stifel showed me that it is a generalisation of the construction of the Lo Shu order 3 square onto the higher odd orders. In Magic Ring terminology an order m ring is wrapped around an augmented order m-2 square.

Michael Stifel Lo Shu squares

Order 3
1 6 5
8 4 0
3 2 7 Order 5
01 03 19 20 17
24 09 14 13 00
22 16 12 08 02
06 11 10 15 18
07 21 05 04 23 Order 7
01 03 05 39 41 42 37
48 13 15 31 32 29 00
46 36 21 26 25 12 02
44 34 28 24 20 14 04
08 18 23 22 27 30 40
10 19 33 17 16 35 38
11 45 43 09 07 06 47
Order 9
01 03 05 07 67 69 71 72 65
80 17 19 21 55 57 58 53 00
78 64 29 31 47 48 45 16 02
76 62 52 37 42 41 28 18 04
74 60 50 44 40 36 30 20 06
14 24 34 39 38 43 46 56 66
12 26 35 49 33 32 51 54 68
10 27 61 59 25 23 22 63 70
15 77 75 73 13 11 09 08 79 Order 11
001 003 005 007 009 103 105 107 109 110 101
120 021 023 025 027 087 089 091 092 085 000
118 100 037 039 041 075 077 078 073 020 002
116 098 084 049 051 067 068 065 036 022 004
114 096 082 072 057 062 061 048 038 024 006
112 094 080 070 064 060 056 050 040 026 008
018 034 044 054 059 058 063 066 076 086 102
016 032 046 055 069 053 052 071 074 088 104
014 030 047 081 079 045 043 042 083 090 106
012 035 097 095 093 033 031 029 028 099 108
019 117 115 113 111 017 015 013 011 010 119
Order 13
001 003 005 007 009 011 147 149 151 153 155 156 145
168 025 027 029 031 033 127 129 131 133 134 125 000
166 144 045 047 049 051 111 113 115 116 109 024 002
164 142 124 061 063 065 099 101 102 097 044 026 004
162 140 122 108 073 075 091 092 089 060 046 028 006
160 138 120 106 096 081 086 085 072 062 048 030 008
158 136 118 104 094 088 084 080 074 064 050 032 010
022 042 058 068 078 083 082 087 090 100 110 126 146
020 040 056 070 079 093 077 076 095 098 112 128 148
018 038 054 071 105 103 069 067 066 107 114 130 150
016 036 059 121 119 117 057 055 053 052 123 132 152
014 043 141 139 137 135 041 039 037 035 034 143 154
023 165 163 161 159 157 021 019 017 015 013 012 167 Order 15
001 003 005 007 009 011 013 199 201 203 205 207 209 210 197
224 029 031 033 035 037 039 175 177 179 181 183 184 173 000
222 196 053 055 057 059 061 155 157 159 161 162 153 028 002
220 194 172 073 075 077 079 139 141 143 144 137 052 030 004
218 192 170 152 089 091 093 127 129 130 125 072 054 032 006
216 190 168 150 136 101 103 119 120 117 088 074 056 034 008
214 188 166 148 134 124 109 114 113 100 090 076 058 036 010
212 186 164 146 132 122 116 112 108 102 092 078 060 038 012
026 050 070 086 096 106 111 110 115 118 128 138 154 174 198
024 048 068 084 098 107 121 105 104 123 126 140 156 176 200
022 046 066 082 099 133 131 097 095 094 135 142 158 178 202
020 044 064 087 149 147 145 085 083 081 080 151 160 180 204
018 042 071 169 167 165 163 069 067 065 063 062 171 182 206
016 051 193 191 189 187 185 049 047 045 043 041 040 195 208
027 221 219 217 215 213 211 025 023 021 019 017 015 014 223
Michael Stifel's Magic Rings
Order 3
1 6 5
5 0 7
7 2 3
3 8 1 Order 5
01 03 19 20 17
17 00 02 18 23
23 21 05 04 07
07 24 22 06 01 Order 7
01 03 05 39 41 42 37
37 00 02 04 40 38 47
47 45 43 09 07 06 11
11 48 46 44 08 10 01
Order 9
01 03 05 07 67 69 71 72 65
65 00 02 04 06 66 68 70 79
79 77 75 73 13 11 09 08 15
15 80 78 76 74 14 12 10 01 Order 11
001 003 005 007 009 103 105 107 109 110 101
101 000 002 004 006 008 102 104 106 108 119
119 117 115 113 111 017 015 013 011 010 019
019 120 118 116 114 112 018 016 014 012 001
Order 13
001 003 005 007 009 011 147 149 151 153 155 156 145
145 000 002 004 006 008 010 146 148 150 152 154 167
167 165 163 161 159 157 021 019 017 015 013 012 023
023 168 166 164 162 160 158 022 020 018 016 014 001 Order 15
001 003 005 007 009 011 013 199 201 203 205 207 209 210 197
197 000 002 004 006 008 010 012 198 200 202 204 206 208 223
223 221 219 217 215 213 211 025 023 021 019 017 015 014 027
027 224 222 220 218 216 214 212 026 024 022 020 018 016 001
Michael Stifel Even Order squares

Order 4
00 07 11 12
13 10 06 01
14 09 05 02
03 04 08 15 Order 6
00 08 31 32 33 01
29 10 17 21 22 06
28 23 20 16 11 07
09 24 19 15 12 26
05 13 14 18 25 30
34 27 04 03 02 35 Order 8
00 12 13 52 53 60 61 01
59 14 22 45 46 47 15 04
56 43 24 31 35 36 20 07
55 42 37 34 30 25 21 08
09 23 38 33 29 26 40 54
06 19 27 28 32 39 44 57
05 48 41 18 17 16 49 58
62 51 50 11 10 03 02 63
Order 10
00 04 05 16 91 92 93 96 97 01
89 18 30 31 70 71 78 79 19 10
88 77 32 40 63 64 65 33 22 11
85 74 61 42 49 53 54 38 25 14
84 73 60 55 52 48 43 39 26 15
17 27 41 56 51 47 44 58 72 82
13 24 37 45 46 50 57 62 75 86
12 23 66 59 36 35 34 67 76 87
09 80 69 68 29 28 21 20 81 90
98 95 94 83 08 07 06 03 02 99 Order 12
000 004 017 020 021 124 125 127 138 140 141 001
137 022 026 027 038 113 114 115 118 119 023 006
134 111 040 052 053 092 093 100 101 041 032 009
133 110 099 054 062 085 086 087 055 044 033 010
130 107 096 083 064 071 075 076 060 047 036 013
129 106 095 082 077 074 070 065 061 048 037 014
015 039 049 063 078 073 069 066 080 094 104 128
012 035 046 059 067 068 072 079 084 097 108 131
011 034 045 088 081 058 057 056 089 098 109 132
008 031 102 091 090 051 050 043 042 103 112 135
007 120 117 116 105 030 029 028 025 024 121 136
142 139 126 123 122 019 018 016 005 003 002 143
Order 14
000 004 005 008 009 024 183 184 185 188 189 192 193 001
181 026 030 043 046 047 150 151 153 164 166 167 027 014
180 163 048 052 053 064 139 140 141 144 145 049 032 015
177 160 137 066 078 079 118 119 126 127 067 058 035 018
176 159 136 125 080 088 111 112 113 081 070 059 036 019
173 156 133 122 109 090 097 101 102 086 073 062 039 022
172 155 132 121 108 103 100 096 091 087 074 063 040 023
025 041 065 075 089 104 099 095 092 106 120 130 154 170
021 038 061 072 085 093 094 098 105 110 123 134 157 174
020 037 060 071 114 107 084 083 082 115 124 135 158 175
017 034 057 128 117 116 077 076 069 068 129 138 161 178
016 033 146 143 142 131 056 055 054 051 050 147 162 179
013 168 165 152 149 148 045 044 042 031 029 028 169 182
194 191 190 187 186 171 012 011 010 007 006 003 002 195 Order 16
000 004 005 024 025 028 029 228 229 232 233 248 249 252 253 001
247 030 034 035 038 039 054 213 214 215 218 219 222 223 031 008
244 211 056 060 073 076 077 180 181 183 194 196 197 057 044 011
243 210 193 078 082 083 094 169 170 171 174 175 079 062 045 012
240 207 190 167 096 108 109 148 149 156 157 097 088 065 048 015
239 206 189 166 155 110 118 141 142 143 111 100 089 066 049 016
236 203 186 163 152 139 120 127 131 132 116 103 092 069 052 019
235 202 185 162 151 138 133 130 126 121 117 104 093 070 053 020
021 055 071 095 105 119 134 129 125 122 136 150 160 184 200 234
018 051 068 091 102 115 123 124 128 135 140 153 164 187 204 237
017 050 067 090 101 144 137 114 113 112 145 154 165 188 205 238
014 047 064 087 158 147 146 107 106 099 098 159 168 191 208 241
013 046 063 176 173 172 161 086 085 084 081 080 177 192 209 242
010 043 198 195 182 179 178 075 074 072 061 059 058 199 212 245
009 224 221 220 217 216 201 042 041 040 037 036 033 032 225 246
254 251 250 231 230 227 226 027 026 023 022 007 006 003 002 255
Michael Stifel's Magic Rings
Order 4
00 07 11 12
12 01 02 15
15 08 04 03
03 14 13 00 Order 6
00 08 31 32 33 01
01 06 07 26 30 35
35 27 04 03 02 34
34 29 28 09 05 00 Order 8
00 12 13 52 53 60 61 01
01 04 07 08 54 57 58 63
63 51 50 11 10 03 02 62
62 59 56 55 09 06 05 00
Order 10
00 04 05 16 91 92 93 96 97 01
01 10 11 14 15 82 86 87 90 99
99 95 94 83 08 07 06 03 02 98
98 89 88 85 84 17 13 12 09 00 Order 12
000 004 017 020 021 124 125 127 138 140 141 001
001 006 009 010 013 014 128 131 132 135 136 143
143 139 126 123 122 019 018 016 005 003 002 142
142 137 134 133 130 129 015 012 011 008 007 000
Order 14
000 004 005 008 009 024 183 184 185 188 189 192 193 001
001 014 015 018 019 022 023 170 174 175 178 179 182 195
195 191 190 187 186 171 012 011 010 007 006 003 002 194
194 181 180 177 176 173 172 025 021 020 017 016 013 000 Order 16
000 004 005 024 025 028 029 228 229 232 233 248 249 252 253 001
001 008 011 012 015 016 019 020 234 237 238 241 242 245 246 255
255 251 250 231 230 227 226 027 026 023 022 007 006 003 002 254
254 247 244 243 240 239 236 235 021 018 017 014 013 010 009 000
General notes
The 2(m-2) inner complementairy pairs can freely be permuted independently
so each order m magic ring stands for (m-2)!² possible rings
that can be wrapped around any order m-2 magic square to form an order m magic square
the order m-2 magic square needs to be agmented by 2m-2 to fill the rings number gap

Michael Stifel didn't define the Magic Ring (as far as I know), the four borders are of his squares are arranged in an m by 4 magic rectangle by the obvious round trip around the square and consist of numbers [0,..,2m-3] and [m²-2m+1,..,m²-1] where the third row is the m²-1 complement of the first and the fourth row complements the second row. The gap of (m-2)² numbers (and the double corner numbers) oblivarates the non-existence of even odd mixed order magic rectangles in this instance. Since these rings are perfect any magic square of order m-2 can be augmented by 2m-2 and placed in the rings center (which is even true for the order 3 square as the "singleton" '0' augments to 4). The order 4 magic ring is a special case as there is no order 2 magic square, to compensate the off sums the complementairy inner pair are crossed as well as the number ranges do not follow the regular splitup into 2 consecutive complementary number ranges

Michael Stifel Lo Shu squares
Order 3 1 6 5 8 4 0 3 2 7	Order 5 01 03 19 20 17 24 09 14 13 00 22 16 12 08 02 06 11 10 15 18 07 21 05 04 23		Order 7 01 03 05 39 41 42 37 48 13 15 31 32 29 00 46 36 21 26 25 12 02 44 34 28 24 20 14 04 08 18 23 22 27 30 40 10 19 33 17 16 35 38 11 45 43 09 07 06 47
Order 9 01 03 05 07 67 69 71 72 65 80 17 19 21 55 57 58 53 00 78 64 29 31 47 48 45 16 02 76 62 52 37 42 41 28 18 04 74 60 50 44 40 36 30 20 06 14 24 34 39 38 43 46 56 66 12 26 35 49 33 32 51 54 68 10 27 61 59 25 23 22 63 70 15 77 75 73 13 11 09 08 79		Order 11 001 003 005 007 009 103 105 107 109 110 101 120 021 023 025 027 087 089 091 092 085 000 118 100 037 039 041 075 077 078 073 020 002 116 098 084 049 051 067 068 065 036 022 004 114 096 082 072 057 062 061 048 038 024 006 112 094 080 070 064 060 056 050 040 026 008 018 034 044 054 059 058 063 066 076 086 102 016 032 046 055 069 053 052 071 074 088 104 014 030 047 081 079 045 043 042 083 090 106 012 035 097 095 093 033 031 029 028 099 108 019 117 115 113 111 017 015 013 011 010 119
Order 13 001 003 005 007 009 011 147 149 151 153 155 156 145 168 025 027 029 031 033 127 129 131 133 134 125 000 166 144 045 047 049 051 111 113 115 116 109 024 002 164 142 124 061 063 065 099 101 102 097 044 026 004 162 140 122 108 073 075 091 092 089 060 046 028 006 160 138 120 106 096 081 086 085 072 062 048 030 008 158 136 118 104 094 088 084 080 074 064 050 032 010 022 042 058 068 078 083 082 087 090 100 110 126 146 020 040 056 070 079 093 077 076 095 098 112 128 148 018 038 054 071 105 103 069 067 066 107 114 130 150 016 036 059 121 119 117 057 055 053 052 123 132 152 014 043 141 139 137 135 041 039 037 035 034 143 154 023 165 163 161 159 157 021 019 017 015 013 012 167		Order 15 001 003 005 007 009 011 013 199 201 203 205 207 209 210 197 224 029 031 033 035 037 039 175 177 179 181 183 184 173 000 222 196 053 055 057 059 061 155 157 159 161 162 153 028 002 220 194 172 073 075 077 079 139 141 143 144 137 052 030 004 218 192 170 152 089 091 093 127 129 130 125 072 054 032 006 216 190 168 150 136 101 103 119 120 117 088 074 056 034 008 214 188 166 148 134 124 109 114 113 100 090 076 058 036 010 212 186 164 146 132 122 116 112 108 102 092 078 060 038 012 026 050 070 086 096 106 111 110 115 118 128 138 154 174 198 024 048 068 084 098 107 121 105 104 123 126 140 156 176 200 022 046 066 082 099 133 131 097 095 094 135 142 158 178 202 020 044 064 087 149 147 145 085 083 081 080 151 160 180 204 018 042 071 169 167 165 163 069 067 065 063 062 171 182 206 016 051 193 191 189 187 185 049 047 045 043 041 040 195 208 027 221 219 217 215 213 211 025 023 021 019 017 015 014 223
Michael Stifel's Magic Rings
Order 3 1 6 5 5 0 7 7 2 3 3 8 1	Order 5 01 03 19 20 17 17 00 02 18 23 23 21 05 04 07 07 24 22 06 01		Order 7 01 03 05 39 41 42 37 37 00 02 04 40 38 47 47 45 43 09 07 06 11 11 48 46 44 08 10 01
Order 9 01 03 05 07 67 69 71 72 65 65 00 02 04 06 66 68 70 79 79 77 75 73 13 11 09 08 15 15 80 78 76 74 14 12 10 01		Order 11 001 003 005 007 009 103 105 107 109 110 101 101 000 002 004 006 008 102 104 106 108 119 119 117 115 113 111 017 015 013 011 010 019 019 120 118 116 114 112 018 016 014 012 001
Order 13 001 003 005 007 009 011 147 149 151 153 155 156 145 145 000 002 004 006 008 010 146 148 150 152 154 167 167 165 163 161 159 157 021 019 017 015 013 012 023 023 168 166 164 162 160 158 022 020 018 016 014 001		Order 15 001 003 005 007 009 011 013 199 201 203 205 207 209 210 197 197 000 002 004 006 008 010 012 198 200 202 204 206 208 223 223 221 219 217 215 213 211 025 023 021 019 017 015 014 027 027 224 222 220 218 216 214 212 026 024 022 020 018 016 001
Michael Stifel Even Order squares
Order 4 00 07 11 12 13 10 06 01 14 09 05 02 03 04 08 15	Order 6 00 08 31 32 33 01 29 10 17 21 22 06 28 23 20 16 11 07 09 24 19 15 12 26 05 13 14 18 25 30 34 27 04 03 02 35		Order 8 00 12 13 52 53 60 61 01 59 14 22 45 46 47 15 04 56 43 24 31 35 36 20 07 55 42 37 34 30 25 21 08 09 23 38 33 29 26 40 54 06 19 27 28 32 39 44 57 05 48 41 18 17 16 49 58 62 51 50 11 10 03 02 63
Order 10 00 04 05 16 91 92 93 96 97 01 89 18 30 31 70 71 78 79 19 10 88 77 32 40 63 64 65 33 22 11 85 74 61 42 49 53 54 38 25 14 84 73 60 55 52 48 43 39 26 15 17 27 41 56 51 47 44 58 72 82 13 24 37 45 46 50 57 62 75 86 12 23 66 59 36 35 34 67 76 87 09 80 69 68 29 28 21 20 81 90 98 95 94 83 08 07 06 03 02 99		Order 12 000 004 017 020 021 124 125 127 138 140 141 001 137 022 026 027 038 113 114 115 118 119 023 006 134 111 040 052 053 092 093 100 101 041 032 009 133 110 099 054 062 085 086 087 055 044 033 010 130 107 096 083 064 071 075 076 060 047 036 013 129 106 095 082 077 074 070 065 061 048 037 014 015 039 049 063 078 073 069 066 080 094 104 128 012 035 046 059 067 068 072 079 084 097 108 131 011 034 045 088 081 058 057 056 089 098 109 132 008 031 102 091 090 051 050 043 042 103 112 135 007 120 117 116 105 030 029 028 025 024 121 136 142 139 126 123 122 019 018 016 005 003 002 143
Order 14 000 004 005 008 009 024 183 184 185 188 189 192 193 001 181 026 030 043 046 047 150 151 153 164 166 167 027 014 180 163 048 052 053 064 139 140 141 144 145 049 032 015 177 160 137 066 078 079 118 119 126 127 067 058 035 018 176 159 136 125 080 088 111 112 113 081 070 059 036 019 173 156 133 122 109 090 097 101 102 086 073 062 039 022 172 155 132 121 108 103 100 096 091 087 074 063 040 023 025 041 065 075 089 104 099 095 092 106 120 130 154 170 021 038 061 072 085 093 094 098 105 110 123 134 157 174 020 037 060 071 114 107 084 083 082 115 124 135 158 175 017 034 057 128 117 116 077 076 069 068 129 138 161 178 016 033 146 143 142 131 056 055 054 051 050 147 162 179 013 168 165 152 149 148 045 044 042 031 029 028 169 182 194 191 190 187 186 171 012 011 010 007 006 003 002 195		Order 16 000 004 005 024 025 028 029 228 229 232 233 248 249 252 253 001 247 030 034 035 038 039 054 213 214 215 218 219 222 223 031 008 244 211 056 060 073 076 077 180 181 183 194 196 197 057 044 011 243 210 193 078 082 083 094 169 170 171 174 175 079 062 045 012 240 207 190 167 096 108 109 148 149 156 157 097 088 065 048 015 239 206 189 166 155 110 118 141 142 143 111 100 089 066 049 016 236 203 186 163 152 139 120 127 131 132 116 103 092 069 052 019 235 202 185 162 151 138 133 130 126 121 117 104 093 070 053 020 021 055 071 095 105 119 134 129 125 122 136 150 160 184 200 234 018 051 068 091 102 115 123 124 128 135 140 153 164 187 204 237 017 050 067 090 101 144 137 114 113 112 145 154 165 188 205 238 014 047 064 087 158 147 146 107 106 099 098 159 168 191 208 241 013 046 063 176 173 172 161 086 085 084 081 080 177 192 209 242 010 043 198 195 182 179 178 075 074 072 061 059 058 199 212 245 009 224 221 220 217 216 201 042 041 040 037 036 033 032 225 246 254 251 250 231 230 227 226 027 026 023 022 007 006 003 002 255
Michael Stifel's Magic Rings
Order 4 00 07 11 12 12 01 02 15 15 08 04 03 03 14 13 00	Order 6 00 08 31 32 33 01 01 06 07 26 30 35 35 27 04 03 02 34 34 29 28 09 05 00		Order 8 00 12 13 52 53 60 61 01 01 04 07 08 54 57 58 63 63 51 50 11 10 03 02 62 62 59 56 55 09 06 05 00
Order 10 00 04 05 16 91 92 93 96 97 01 01 10 11 14 15 82 86 87 90 99 99 95 94 83 08 07 06 03 02 98 98 89 88 85 84 17 13 12 09 00		Order 12 000 004 017 020 021 124 125 127 138 140 141 001 001 006 009 010 013 014 128 131 132 135 136 143 143 139 126 123 122 019 018 016 005 003 002 142 142 137 134 133 130 129 015 012 011 008 007 000
Order 14 000 004 005 008 009 024 183 184 185 188 189 192 193 001 001 014 015 018 019 022 023 170 174 175 178 179 182 195 195 191 190 187 186 171 012 011 010 007 006 003 002 194 194 181 180 177 176 173 172 025 021 020 017 016 013 000		Order 16 000 004 005 024 025 028 029 228 229 232 233 248 249 252 253 001 001 008 011 012 015 016 019 020 234 237 238 241 242 245 246 255 255 251 250 231 230 227 226 027 026 023 022 007 006 003 002 254 254 247 244 243 240 239 236 235 021 018 017 014 013 010 009 000
General notes
The 2(m-2) inner complementairy pairs can freely be permuted independently so each order m magic ring stands for (m-2)!² possible rings that can be wrapped around any order m-2 magic square to form an order m magic square the order m-2 magic square needs to be agmented by 2m-2 to fill the rings number gap